第一節 \(n\) 的值增大對 \(ar^n\) 的變化
簡介

假設你走在一個 \(30\) 米長的走廊。每十秒鐘,你向前走了離走廊的盡頭一半的路。你需要多長時間到達走廊的盡頭?你是否永遠也不可能到達那裡?

以上的問題涉及等比級數的無限項之和。

我們在上一課件剛學過一個等比數列首 \(n\) 項的和為 \(S_n = \displaystyle{\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}}\)。當 \(n\) 的值不斷增大時,\(S_n\) 的值會有什麼的變化?在這一課件,我們將詳細討論這個問題。

數學實驗 —— 探究 \(n\) 的值增大對 \(ar^n\) 的變化

首先我們利用模擬模型來探究 \(n\) 的值增大對 \(ar^n\) 的變化。

在右邊的模擬模型,\(x-\)軸代表項數 \(n\),而 \(y-\)軸則代表 \(ar^n\)的數值。

請在模擬模型中移動數值滑桿 \(a\) 及 \(r\) 來分別輸入等比數列的首項及等比的數值。

請回答以下的問題。

  1. 根據下列條件,請判斷關於 \(y = ar^n\) 不同的情境:

    1. \(r \gt 1\)
    2. \(-1 \lt r \lt 1\)
    3. \(r \lt -1\)
  2. 設 \(a\) 為任何一個大於 \(0\) 的實數。

    請在以下列表的空格上選擇適當的答案。

    1. 當 \(r \gt 1\) 時,\(ar^n\) 會
      • 無限地增加
      • 無限地減少
      • 趨向 \(0\)
      • 不變
       
    2. 當 \(-1 \lt r \lt 1\) 時,\(ar^n\) 會
      • 無限地增加
      • 無限地減少
      • 趨向 \(0\)
      • 不變
       
    3. 當 \(r \lt -1\) 時,
      1. 若 \(n\) 是奇數,\(ar^n\) 會
        • 無限地增加
        • 無限地減少
        • 趨向 \(0\)
        • 不變
         
      2. 若 \(n\) 是偶數,\(ar^n\) 會
        • 無限地增加
        • 無限地減少
        • 趨向 \(0\)
        • 不變
         


根據上面所得,我們可得:

當 \(-1 \lt r \lt 1\),若 \(n\) 無限到增大時,

\(ar^n\) 會趨近 \(0 \; 。\)


從上一課的課件,一個等比數列首 \(n\) 項的和 \(S_n\)為

\[S_n = {\displaystyle{\frac{a}{1 - r}}} - {\displaystyle{\frac{ar^n}{1 - r}}} \; 。\]

因此,

一個首項為 \(a\) 及公比為 \(r\) (其中 \(-1 \lt r \lt 1\)) 的等比數列之無限項之和 \(S\) 為

\[S = {\displaystyle{\frac{a}{1 - r}}} \;。\]

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