假設你走在一個 \(30\) 米長的走廊。每十秒鐘,你向前走了離走廊的盡頭一半的路。你需要多長時間到達走廊的盡頭?你是否永遠也不可能到達那裡?
以上的問題涉及等比級數的無限項之和。
我們在上一課件剛學過一個等比數列首 \(n\) 項的和為 \(S_n = \displaystyle{\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}}\)。當 \(n\) 的值不斷增大時,\(S_n\) 的值會有什麼的變化?在這一課件,我們將詳細討論這個問題。
首先我們利用模擬模型來探究 \(n\) 的值增大對 \(ar^n\) 的變化。
在右邊的模擬模型,\(x-\)軸代表項數 \(n\),而 \(y-\)軸則代表 \(ar^n\)的數值。
請在模擬模型中移動數值滑桿 \(a\) 及 \(r\) 來分別輸入等比數列的首項及等比的數值。
請回答以下的問題。
根據下列條件,請判斷關於 \(y = ar^n\) 不同的情境:
設 \(a\) 為任何一個大於 \(0\) 的實數。
請在以下列表的空格上選擇適當的答案。
根據上面所得,我們可得:
當 \(-1 \lt r \lt 1\),若 \(n\) 無限到增大時,
\(ar^n\) 會趨近 \(0 \; 。\)
從上一課的課件,一個等比數列首 \(n\) 項的和 \(S_n\)為
\[S_n = {\displaystyle{\frac{a}{1 - r}}} - {\displaystyle{\frac{ar^n}{1 - r}}} \; 。\]
因此,
一個首項為 \(a\) 及公比為 \(r\) (其中 \(-1 \lt r \lt 1\)) 的等比數列之無限項之和 \(S\) 為
\[S = {\displaystyle{\frac{a}{1 - r}}} \;。\]