從之前有關實數系的課件中，我們知道對於任意實數 \(a\)，\(a^2 \ge 0\)。
由於以上的原因，在實數系中，由於 \(\sqrt{-1}\) 及 \(\sqrt{-2}\) 不是實數，所以方程如 \(x^2 = -1\) 及 \(x^2 = -2\) 都沒有實數根。
為了處理負數的平方根，實數系便擴展至複數系。
設定一個數 \(i = \sqrt{-1}\)。即是說， \(i^2 = -1\)。
考慮下列各方程：
| 1. | \(x^2\) |
\( = -1\) |
\(x\) |
\( =\pm \sqrt{-1}\) |
|
\(=\pm \sqrt{1^2 \times (-1)}\) |
||
\(= \pm \sqrt{1^2} \times\) \(\sqrt{-1}\) |
||
\(= \pm i\) |
| 2. | \((x - 1)^2\) |
\( = -9\) |
\(x - 1\) |
\( = \pm \sqrt{-9}\) |
|
\(= \pm \sqrt{3^2 \times (-1)}\) |
||
\(= \pm \sqrt{3^2} \times\) \(\sqrt{-1}\) |
||
\( x \) |
\(= 1 \pm 3i\) |
我們稱 \(i\) 及 \(1 \pm 3i\) 為複數。
注意考慮\(i^2 = -1\qquad\) 及
\(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\qquad\dotsm\)
\(\therefore\)雖然 \(i^2、i^4、\dotsm\) 的式子中含有 \(i\)，但它們 不 是複數，而是實數。
複數重要的性質如下：
\[i^2 = -1 \,。\]
\[a + bi，\]
其中 \(a\) 及 \(b\) 均為實數。
例如，在複數 \(-5 + 6i\) 中，實部 \(a\) 是 \(-5\)，虛部 \(b\) 是 \(6\)，而它們均為實數。
\[a + bi = 0 + bi = bi，\]
這個數稱為純虛數。
\[a + bi = a + 0i = a，\]
這個數是實數。
因此，任何實數均可視為複數。
\[a + bi = 0 + 0i = 0。\]
備忘 複數是沒有大小之分的。例如，我們不能比較 \(1 + 2i\) 和 \(3 + i\) 的大小。
1. |
\(\sqrt{-125} \) |
\( = \sqrt{25 \times 5 \times (-1)}\) |
\(= \pm \sqrt{5^2} \times \sqrt{5} \times\)\(\sqrt{-1}\) |
||
\(= \pm 5 \sqrt{5} i\) |
2. |
我們知道 |
\(i \) |
\( = \sqrt{-1}\) |
|
則 |
\(i^2 \) |
\( = (\sqrt{-1})^2 = -1\) \((\sqrt{a})^2 = a\) |
||
\(i^3 \) |
\( = \) \(i^2\)\(\cdot i = (-1) \cdot i = -i\) |
|||
\(i^4 \) |
\( = \) \(i^3\)\(\cdot i = (-i) \cdot i = -i^2 = 1\) |
|||
\(i^5 \) |
\( = i\) |
(自行計算) |
||
\(i^6 \) |
\( = -1\) |
(自行計算) |
||
\(i^7 \) |
\( = -i\) |
(自行計算) |
||
\(i^8 \) |
\( = 1\) |
(自行計算) |
||
\(\dotsm\) |
||||