有理數是一些可寫為 \(\displaystyle{\frac{p}{q}}\) 的數，其中 \(p\) 和 \(q\) 是整數，而且 \(q \ne 0\)。
例如：
分數
\(\displaystyle{\frac{1}{5}}，\displaystyle{\frac{-2}{3}}，\displaystyle{\frac{-4}{9}}\) 及 \(2\displaystyle{\frac{1}{2}} (= \displaystyle{\frac{5}{2}})\) 均是有理數。
整數
\(0 = (\displaystyle{\frac{0}{1}})，3 (= \displaystyle{\frac{3}{1}})\) 及 \(-4 (= \displaystyle{\frac{-4}{1}})\) 均是有理數。
備忘 任何整數 \(n\) 都可寫成 \(\displaystyle{\frac{n}{1}}\)，因此這是 有理數。
有盡小數(有限小數)
\(\displaystyle{\frac{3}{10}} = 0.3， \displaystyle{\frac{1}{2}} = 0.5\)。
循環小數
\(\displaystyle{\frac{2}{3}} = 0.666666 \dotso = 0.\dot{6}\) 及 \(\displaystyle{\frac{25}{33}} = 0.757575 \dotso = 0.\dot{7}\dot{5}\)。
備忘 要表示一串數字組成的循環，可在該串重複數字的第一個和最後一個之上加上一點。例如：
\(\qquad \qquad 0.125 \; 125 \; 125 \; \dotso = 0.\dot{1}2\dot{5}\)。
\(\qquad \qquad 0.24 = \displaystyle{\frac{24}{100}} = \displaystyle{\frac{6}{25}}\) 及 \(0.\dot{3} = \displaystyle{\frac{1}{3}}\)。
我們在下一課將會學習把循環小數化成最簡的分數的方法。
無理數是一些不可以寫為 \(\displaystyle{\frac{p}{q}}\) 形式的數，其中 \(p\) 和 \(q\) 是整數，而且 \(q \ne 0\)。
例如： \(\sqrt{2}， -\sqrt{3}， \pi\) 和 \(e\)。
事實上，所有無理數都只是無盡小數，而非循環小數。
\(\begin{align*}\sqrt{2} &= 1.414 \; 213 \; 562 \; \dotso \\ -\sqrt{3} &= -1.732 \; 050 \; 808 \; \dotso \\ \pi &= 3.141 \; 592 \; 654 \; \dotso \\ e &= 2.718 \; 281 \; 828 \; \dotso \\ \sin 45^\circ &= \displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 0.707 \; 106 \; 781 \; \dotso \end{align*}\)
根式的簡化：\(\sqrt{200} = \sqrt{10^2 \times 2} = 10 \sqrt{2}\)
根式的運算：\(\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3 \sqrt{5}\)
分母之有理化：
\(\begin{align*}\frac{3}{\sqrt{5}} &= \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\
&= \frac{3\sqrt{5}}{5}\end{align*}\)
其他運算：
\(\begin{align*}(2 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) &= 6 + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 \\
&= 1 + \sqrt{5}\end{align*}\)
考慮\(\sqrt{4} = \pm 2\)
\(\therefore\)雖然 \(\sqrt{4}\) 的式子中含有平方根，但 \(\sqrt{4}\) 不 是無理數，而是有理數。
有理數和無理數合稱為 實數。換言之，一個實數可以是有理數或無理數。
每一個實數都可以用點表示在實數線上。
例如在右面的模擬模型，請移動數值滑桿來輸入有理數 \(\displaystyle{\frac{p}{q}}\) 的數值，並觀察該有理數以點表示在實數線上。你亦可以選擇在同一實數線上顯示幾個預設的無理數作比較。