設 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 為二次方程的兩個根。之前我們已學過以 \((x - \alpha)(x - \beta) = 0\) 的方法來建立該二次方程。
本小節將會講解一個更簡單的方法，是利用韋達定理來為已知根建立方程。
如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) (其中 \(a \ne 0)\) 的兩個根，韋達定理涉及有關根與係數的關係為
兩根的和 \(= \alpha + \beta = - \displaystyle{\frac{b}{a}}\)
兩根的積 \(= \; \; \alpha \beta \; \, = \displaystyle{\frac{c}{a}}\)
即是說，
若已知二次方程的兩個根，則該二次方程可寫為
\(x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}} x + \displaystyle{\frac{c}{a}} = 0 \;\; (a \ne 0) \) ，或
\(x^2 - (\)兩根的和\()x + (\)兩根的積\() = 0\)。
已知二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的兩個根是 \(5 - \sqrt{3}\) 和 \(5 + \sqrt{3}\)。
已知二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的兩個根是 \(-\displaystyle{\frac{1}{3}}\) 和 \(\displaystyle{\frac{2}{5}}\)。
兩根的和 |
\(= \alpha + \beta \) |
\(= -\displaystyle{\frac{1}{3}} + \displaystyle{\frac{2}{5}}\) |
|
|
\(= \displaystyle{\frac{1}{15}}\) |
兩根的積 |
\(= \ \ \ \alpha \beta \) |
\(= (-\displaystyle{\frac{1}{3}}) (\displaystyle{\frac{2}{5}})\) |
|
|
\(= -\displaystyle{\frac{2}{15}}\) |
\(\because \) |
\( = 0\)。 |
|
\( \therefore \) |
所需方程是 \( x^2 - \displaystyle{\frac{1}{15}}x + (-\displaystyle{\frac{2}{15}}) \) |
\( = 0 \) |
\(15x^2 - x - 2 \) |
\( = 0 \) |