[興倫智能課堂] 勻速圓周運動

圓周運動模擬程式

若已知某物體在一個圓圈上運動（），由於物體有加速度，所以我們可以立即肯定，必定有一個淨力作用於該物體上。

在勻速圓周運動中，加速度指向圓心，換言之，淨力亦指向圓心（牛頓第二定律），這個力稱為向心力 (centripetal force)。

例如質量為 \(m\) 的單車以固定速率 \(v\) 在一條半徑為 \(r\) 的圓形公路上行駛。輪軚與路面間的摩擦力 (\(f\)) 便提供了令單車圍繞公路轉向所需的力，這力指向圓心。換言之，根據牛頓第二定律：

\(\displaystyle{f=m\frac{{{v}^{2}}}{r}}\)

概念鞏固

一輛單車沿一條半徑為 \(r\) 的圓形跑道轉向。\(f\) 提供所需的向心力

有些公路和跑道上是向內側傾斜的（），這設計讓車子轉彎時的法向反作用力 (\(R\)) 的水平分量，成為部分向心力，從而減小對輪軚與路面間摩擦力的倚賴。

你能從模擬程式的「圓形車道」中改變 \(\theta \) 大小，觀察到有關摩擦力的變化嗎？

根據牛頓第二定律：

水平方向：\(\displaystyle{R\sin \theta +f\cos \theta =m\frac{{{v}^{2}}}{r}}\)

垂直方向：\(R\cos \theta =f\sin \theta +mg\)

單車在傾斜跑道上行走。向心力由 \(R\) 與 \(f\) 的水平分量提供

例子

一列火車以恆定速率繞著半徑為 \(300\text{ m}\) 的圓形軌道行駛。一個懸吊於列車天花板的小球，向外擺動了 \(15{}^\circ \)。問火車的行駛有多快？

【題解】

考慮小球的隔離體圖時，可知作用在小球上的力包括繩子的張力 \(T\) 和小球的重量 \(mg\)。小球隨火車轉向所需的向心力，由張力在水平方向的分量提供。設圓形軌道的半徑為 \(r\)，根據牛頓第二定律：

\(\displaystyle{T\sin 15{}^\circ =\frac{m{{v}^{2}}}{r}}\) ------ (1)

\(T\cos 15{}^\circ =mg\) ------ (2) 注意 \(1\) 注意 \(2\)

把 (1) 除以 (2) 以消去 \(T\) 和 \(m\) 後，再代入 \(r = 300 \text{ m}\)，可求得 \(v = 28.4 \text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。

概念鞏固相關情境活動

在圓形軌道行駛的火車

若之前動畫 \(1\) 中的單車速率太高，輪軚與跑道之間的摩擦力不能提供足夠的向心力。下列哪路徑是可能出現的情況？

你可以在模擬程式「圓形車道」設定 \(\theta = 0\) 的勻速圓周運動情境，調節車子的角速度後，觀看路面需提供的摩擦力大小。

A. 路徑 \(1\)

B. 路徑 \(2\)

C. 路徑 \(3\)

D. 路徑 \(4\)

【題解】
若單車速率太高，就是：

\(\displaystyle{v>\sqrt{\frac{f\ r}{m}}}\)

輪軚與跑道之間的摩擦力便不能提供足夠的向心力，單車將向外打滑，有關路徑將涵蓋一個較大半徑的圓。

一種常見的錯誤，就是在圓周運動中以為有一個離心力 (centrifugal force) 會把物體推離圓心。單車手轉彎時感到被向外拋出，只因慣性令身體傾向於維持直線運動而已。

圖 \(1\)

互動 \(2\) 中，小球進行勻速圓周運動。下列哪些參數會影響小球與豎直方向所成的傾斜角，試從題解中的算式、或參考模擬程式中的情境探究。
(1) 小球質量
(2) 小球速率
(3) 小球與軌道中心的距離

A. 只有 (1) 和 (2)

B. 只有 (2) 和 (3)

C. 只有 (1) 和 (3)

D. (1)、(2) 和 (3)

【題解】
事實上，小球質量不會影響小球的傾斜角。只有小球的速率及其與軌道中心的距離，才會令小球的傾斜角起變化。

若小球與豎直方向所成的角為 \(\theta \)，它與小球速率 \(v\) 及軌道中心距離 \(r\) 的關係為 \(g\) tan \(\theta \) = \({{{v}^{2}}}/{r}\;\)（合併本例子的方程 (1) 和 (2) 以消去 \(T\)）。

互動 \(2\)：在圓形軌道行駛的火車

一個質量為 \(1\text{ kg}\) 的球被繩子綁在一個垂直的圓形軌道上以固定速率 \(4\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\) 運動。如右方的動畫 \(2\) 所示。

若軌道的半徑為 \(1\text{ m}\)，求小球處於最高與最低點時的繩子張力大小：（重力加速度等於 \(10\text{ m}\ {{\text{s}}^{-2}}\)）

動畫 \(2\)

處於最高點時的繩子張力 = \(\text{N}\)；
處於最低點時的繩子張力 = \(\text{N}\)。

【題解】
小球處於最高與最低點時的力分別如圖 \(2\) 所示。

設 \(m\)、\(v\)、\(T\) 與 \(r\) 分別代表小球質量和速率、繩子張力和軌道半徑。根據牛頓第二定律，分別考慮小球處於最高與最低點時的情況（指向圓心為正的方向）：

\(\displaystyle{{{T}_{1}}+mg=\frac{m{{v}^{2}}}{r}}\) ---------- (1)

\(\displaystyle{{{T}_{2}}-mg=\frac{m{{v}^{2}}}{r}}\) ---------- (2)

代入 \(m = 1\text{ kg}\)、\(v = 4\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\) 與 \(r = 1\text{ m}\)，求得 \({{T}_{1}}\) 與 \({{T}_{2}}\) 分別等於 \(6\text{ N}\) 和 \(26\text{ N}\)。這結果表示，繩子張力會隨小球處於不同位置而有差別。

圖 \(2\)

小球於最高點時，維持勻速圓周運動的速率最小為何？

A. \(3.2\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)

B. \(4.0\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)

C. \(10.0\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)

D. 任何大於零的值

【題解】
小球在垂直圓形軌道上進行勻速圓周運動時，向心力由繩子的張力提供。若繩子張力等於 \(0\)，繩子變得鬆弛，小球便不能維持勻速圓周運動。

換言之，考慮方程 (1) 中張力等於零，可知小球速率最小為：

\({{v}_{\min }}^{2}>g\ r\)

當 \(g = 10\text{ m}\ {{\text{s}}^{-2}}\) 和 \(r = 1 \text{ m}\)，得 \({{v}_{\min }}\) 為 \(3.2\text{ m}\ {{\text{s}}^{-1}}\)。