在上一節，我們看過水平線和鉛垂線的方程。本節我們會學習求直線方程的方法，根據所知的資料不同，求直線的方法亦不同。
注意 在開始之前，有兩點需要注意：
如附圖所示，若我們知道直線\(\;L\;\)通過點\(\;A(x_1,y_1)\)，而斜率為\(\;m\)，則可確定該直線。如果\(\;P(x,y)\;\)是\(\;L\;\)上另外一點，則
\begin{align*} AP\hbox{ 的斜率} &= L\hbox{ 的斜率} \\ \frac{y-y_1}{x-x_1} &= m \\ y-y_1 &= m(x-x_1) \end{align*}由於\(\;P\;\)點只是直線上的任意點，所以直線上每一點都滿足以上的方程。反過來說，若平面上的一點滿足這個方程，則它一定在直線\(\;L\;\)上。換言之，我們說明了
若直線\(\;L\;\)通過點\(\;(x_1,y_1)\)，而其斜率為\(\;m\)，則其方程為
\begin{equation*} y-y_1 = m(x-x_1) \end{equation*}這是直線方程的點斜式。
活動 在附設的模擬模型中，選擇「點斜式」模式，你可以改變\(\;A\;\)點的坐標，或者移動數值滑桿改變直線的斜率，並觀察直線及其方程的變化。
斜截式是點斜式的一個特例。若我們知道直線\(\;L\;\)的斜率\(\;m\;\)和\(\;y\;\)軸截距\(\;c\)，即\(\;L\;\)通過點\(\;(0,c)\)，就可用點斜式來找出直線的方程：
\begin{align*} y - c &= m(x-0) \\ y &= mx+c \end{align*}若直線\(\;L\;\)的斜率為\(\;m\;\)而\(\;y\;\)軸截距為\(\;c\)，則其方程為
\begin{equation*} y = mx+c \end{equation*}這是直線方程的斜截式。
活動 在附設的模擬模型中，選擇「斜截式」模式，你可以改變\(\;c\;\)點在\(\;y\;\)軸上的位置，或者移動數值滑桿改變直線的斜率，並觀察直線及其方程的變化。
我們都知道兩點能定一直線，如附圖所示，若我們知道直線\(\;L\;\)通過點\(\;A(x_1,y_1)\;\)和\(\;B(x_2,y_2)\)，而且\(\;x_1\neq x_2\)，則它的斜率為
\begin{equation*} m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{equation*}找出斜率後，我們可對\(\;A\;\)點或\(\;B\;\)點運用點斜式來找出直線的方程。以\(\;A\;\)點為例：
\begin{align*} y-y_1 &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \\ \frac{y-y_1}{x-x_1} &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{align*}若直線\(\;L\;\)通過點\(\;(x_1,y_1)\;\)和\(\;(x_2,y_2)\)，則其方程為
\begin{equation*} \frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{equation*}這是直線方程的兩點式。
活動 在附設的模擬模型中，選擇「兩點式」模式，你可以改變\(\;A\;\)點和\(\;B\;\)點的坐標，並觀察直線及其方程的變化。
截距式是兩點式的一個特例。若我們知道直線\(\;L\;\)的\(\;x\;\)軸截距\(\;a\;\)和\(\;y\;\)軸截距\(\;b\)，即\(\;L\;\)通過點\(\;(a,0)\;\)和\(\;(0,b)\)，就可用兩點式來找出直線的方程：
\begin{align*} \frac{y-0}{x-a} &= \frac{b-0}{0-a} \\ -ay &= bx-ab \\ bx + ay &= ab \\ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} &= 1 \end{align*}若直線\(\;L\;\)的\(\;x\;\)軸截距為\(\;a\;\)而\(\;y\;\)軸截距為\(\;b\)，則其方程為
\begin{equation*} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \end{equation*}這是直線方程的截距式。
注意 由於水平線沒有\(\;x\;\)軸截距，而鉛垂線沒有\(\;y\;\)軸截距，所以我們不能以截距式來找它們的方程。另外，若\(\;a=0\;\)或\(\;b=0\)，我們也不能利用截距式來求直線的方程，這時候該直線通過原點，其方程為\(\;y=mx\)，其中\(\;m\;\)為該直線的斜率。
活動 在附設的模擬模型中，選擇「截距式」模式，你可以改變\(\;A\;\)點在\(\;x\;\)軸上的位置和\(\;B\;\)點在\(\;y\;\)軸上的位置，並觀察直線及其方程的變化。